تبدیل فوریه. تبدیل فوریه سریع. تبدیل فوریه گسسته

تبدیل فوریه - تحول، ارتباط یک تابع خاص از یک متغیر واقعی است. این عمل هر زمان که ما درک صداهای مختلف انجام شده است. گوش تولید خودکار "محاسبه"، که آگاهی می ما تنها پس از بررسی بخش از ریاضیات عالی به انجام برسانند. عضو شنوایی در یک تغییر و تحول انسان سازه، که در آن صدا (حرکت نوسانی معمولی ذرات در یک محیط الاستیک، که در شکل موج انتشار در محیط جامد، مایع یا گازی) در طیف وسیعی از مقادیر متوالی از سطح حجم از تن از ارتفاع های مختلف ارائه شده است. بعد از این، مغز تبدیل اطلاعات به همه صدای آشنا.

ریاضی تبدیل فوریه

تبدیل امواج صوتی یا فرآیندهای ارتعاش دیگر (توسط نشر نور و جزر و مد اقیانوس ها و به چرخه ستاره ای یا خورشیدی) می تواند انجام شود و با استفاده از روش های ریاضی. بنابراین، با استفاده از این تکنیک ها، توابع را می توان با معرفی فرآیندهای ارتعاشی مجموعه ای از اجزای سینوسی، به عنوان مثال منحنی مواج که از حداقل به حداکثر بروید و سپس دوباره به حداقل، مانند موج دریا گسترش یافته است. تبدیل فوریه - تابع دگرگونی است که فاز و یا دامنه هر سینوسی مربوط به یک فرکانس خاص توصیف می کند. فاز یک نقطه شروع از منحنی، و دامنه است - از ارتفاع آن است.

تبدیل فوریه (نمونه در عکس نشان داده شده) یک ابزار بسیار قدرتمند است، که در زمینه های مختلف علم استفاده می شود. در برخی موارد، آن را به عنوان یک راه حل معادلات پیچیده که فرایندهای پویا تحت تاثیر نور، گرما یا انرژی الکتریکی رخ توصیف استفاده می شود. در موارد دیگر، آن را اجازه می دهد تا شما را به تعریف اجزای به طور منظم در شکل موج پیچیده، با توجه به این می تواند درست به تفسیر مشاهدات مختلف تجربی در شیمی، پزشکی و نجوم است.

اطلاعات تاریخی

اولین کسی که به اعمال این روش ریاضیدان فرانسوی ژان Batist Fure بود. تبدیل، پس از آن به نام او نامگذاری شده، در اصل برای توصیف مکانیسم انتقال حرارت استفاده شده است. فوریه کل زندگی بزرگسالی خود را درگیر در مطالعه خواص از گرما. او ساخته شده سهم زیادی را به تئوری ریاضی تعیین ریشه های معادلات جبری. فوریه استاد تجزیه و تحلیل در École Polytechnique، دبیر موسسه مصرشناسی بود، خدمات امپریالیستی، که باعث به هم بزنید در زمان ساخت و ساز جاده به تورین (تحت رهبری او بیش از 80 هزار کیلومتر مربع از مرداب ها مالاریا خشک شد) بود. با این حال، تمام این فعالیت را دانشمند درگیر در تجزیه و تحلیل ریاضی را متوقف کند. در سال 1802 آن را یک معادله است که انتشار حرارت در جامدات توصیف مشتق شده بود. در سال 1807، دانشمند یک روش برای حل این معادله، که به عنوان "تبدیل فوریه" شناخته شد را کشف کردند.

تجزیه و تحلیل هدایت حرارتی

محققان با استفاده از یک روش ریاضی برای توصیف مکانیسم انتقال حرارت. یک مثال مناسب، در جایی که هیچ مشکل در محاسبات انتشار انرژی حرارتی توسط یک حلقه آهنی است، یک بخش در یک آتش سوزی قرار دارد. برای انجام آزمایشها فوریه بخشی قرمز گرم از حلقه و او را در شن و ماسه ریز دفن. پس از آن، اندازه گیری درجه حرارت در طرف مقابل آن انجام شده است. در ابتدا، توزیع حرارت نامنظم است: بخشی از حلقه - سرد، و از سوی دیگر - گرم، میان مناطق می توانید مشاهده یک گرادیان دما تیز. با این حال، در طول توزیع حرارت در سراسر سطح فلز، آن یکنواخت تر می شود. بنابراین، به زودی، این روند به شکل یک موج سینوسی. نمودار نخست به تدریج افزایش می دهد و نیز کاهش می یابد هموار، دقت قوانین تنوع از کسینوس و یا تابع مثلثاتی. موج به تدریج به تساوی کشاند و در نتیجه درجه حرارت یکنواخت در تمام سطح حلقه است.

نویسنده این روش فرض می شود که توزیع اولیه کاملا نامنظم را می توان به تعدادی از امواج سینوسی ابتدایی تجزیه است. هر کدام از آنها فاز آن (موقعیت اولیه) و حداکثر درجه حرارت را داشته باشد. بنابراین هر یک از این تغییرات جزء از حداقل به حداکثر و برای تکمیل انقلاب در سراسر بار حلقه عدد صحیح است. کامپوننت داشتن یک دوره که هارمونیک اساسی نامیده می شد، و ارزش با دو یا چند دوره - دوم و به همین ترتیب. به عنوان مثال، یک تابع ریاضی که حداکثر دمای توصیف، فاز یا موقعیت به نام تبدیل فوریه تابع توزیع. دانشمند آورده تک جزئی است که به سختی توصیف ریاضی، برای آسان برای استفاده و ابزار - ردیف سینوس و کسینوس، در مقدار دادن توزیع اولیه.

جوهر از تجزیه و تحلیل

استفاده از این تجزیه و تحلیل به تبدیل توزیع حرارت در جسم جامد، داشتن یک شکل حلقوی، یک ریاضیدان استدلال کرد که دوره افزایش از اجزای سینوسی منجر به نوسانات سریع آن است. این است که به وضوح در هارمونیک اصلی و دوم دیده می شود. دمای نهایی دو برابر مقادیر حداکثر و حداقل می رسد در یک پاس تک، و در اول - فقط یک بار. این معلوم است که از راه دور با گرما در هارمونیک دوم سفر است نیمی از هسته. علاوه بر این، شیب نیمه دوم نیز تندتر از اولین باشد. بنابراین، از آنجا یک شار حرارتی شدید تر عبور می کند بیوه فاصله حداقل، پس از این خواهد هارمونیک چهار برابر سریعتر از اصلی میرا، به عنوان یک تابع از زمان. در ادامه این فرایند حتی سریع تر خواهد بود. ریاضیدان بر این باور بودند که این روش اجازه می دهد تا ما را به محاسبه روند توزیع اولیه از درجه حرارت با زمان است.

معاصران پاسخ

تبدیل فوریه الگوریتم تبدیل به یک چالش به مبانی نظری ریاضیات در آن زمان. در اوایل قرن نوزدهم، بسیاری از دانشمندان برجسته، از جمله لاگرانژ، لاپلاس، پواسون، لژاندر و بیو هم ادعای خود را که درجه حرارت از توزیع اولیه به مولفه در قالب موج اساسی و فرکانس بالاتر تجزیه قبول نمی کند. با این حال، آکادمی علوم می تواند نتایج ریاضیدان به دست آمده را نادیده بگیرد، و او جایزه برای نظریه انتقال حرارت از قوانین تعلق می گیرد، و همچنین انجام مقایسه آن با آزمایش های فیزیکی. در روش تبدیل فوریه، اعتراض اصلی این واقعیت است که یک تابع ناپیوسته است که توسط یک مجموع توابع چند سینوسی، که مداوم هستند نشان داده است. پس از همه، آنها خطوط سرشار صاف و منحنی توصیف می کنند. دانشمند معاصر هرگز چنین وضعیتی، مواجه شده بود زمانی که توابع ناپیوسته شرح داده شده توسط ترکیبی از مداوم، از جمله درجه دوم، خطی، سینوسی یا غرفه. در صورتی که یک ریاضیدان در اظهارات خود بود، از مجموع یک سری نامتناهی از توابع مثلثاتی باید به سرعت دقیق محدود شده است. در حالی که چنین ادعای پوچ به نظر می رسید. با این حال، با وجود شک و تردید از برخی از محققان (به عنوان مثال کلود ناویه، صوفی Zhermen) را نیز در دایره تحقیق و آنها را از تجزیه و تحلیل توزیع حرارت به ارمغان آورد. ریاضیات، در عین حال، در ادامه به رنج می برند این سوال که آیا مجموع توابع چند سینوسی به نمایندگی دقیق ترکیدن کاهش می یابد.

تاریخ 200 ساله

این نظریه بیش از دو قرن تکامل یافته امروز آن است که در نهایت تشکیل شده است. با کمک توابع مکانی یا زمانی را می توان به اجزای سینوسی که دارای فرکانس، دامنه و فاز شکسته. این تبدیل به دو روش ریاضی به دست آمده. اولین آنها در مورد استفاده می شود، زمانی که منبع یک تابع پیوسته، و دوم - در مورد که در آن توسط یک کثرت از تغییرات منحصر به فرد گسسته ارائه شده است. از پایین ترین بالای اساسی و سپس دو برابر، سه برابر شده، و غیره - اگر عبارت است از ارزش ها، که در فواصل گسسته تعریف به دست آمده، می توان به چند گسسته فرکانس سینوسی عبارت تقسیم شده است. این مقدار به نام سری فوریه. اگر عبارت اولیه مجموعه ارزش هر عدد حقیقی، آن را می توان به چند سینوسی تمام فرکانس های ممکن شکسته. آن را به نام انتگرال فوریه، و تصمیم گیری به معنی یک تحول از تابع انتگرال. صرف نظر از روش برای به دست آوردن تحول، برای هر فرکانس باید دو عدد نشان می دهد: دامنه و فرکانس. این مقادیر به عنوان یک تک ابراز عدد مختلط است. بیان نظریه متغیرهای پیچیده همراه با تبدیل فوریه برای انجام محاسبات اجازه طراحی مدارهای مختلف الکتریکی، تجزیه و تحلیل ارتعاشات مکانیکی، مطالعه نحوه انتشار موج و دیگری.

تبدیل فوریه امروز

امروزه، مطالعه این فرایند اساسا به پیدا کردن روش های موثر برای انتقال از تابع به آن را تبدیل به ذهن است. این راه حل به نام تبدیل فوریه مستقیم و معکوس تبدیل. به چه معنی است؟ به منظور تعیین انتگرال و تبدیل فوریه مستقیم تبدیل، شما می توانید روش های ریاضی استفاده کنید، اما شما می توانید تحلیلی است. با وجود این واقعیت است که زمانی که آنها در عمل استفاده برخی مشکلات وجود دارد، بیشتر انتگرال در حال حاضر یافت شده است و وارد شده در کتابچه های ریاضی. با عبارت کمک روشهای عددی را می توان محاسبه، شکل است که بر روی داده های تجربی، یک تابع که انتگرال در جداول از دست رفته است، و آنها دشوار است تصور کنید در یک فرم تحلیلی.

قبل از ظهور محاسبات مهندسی کامپیوتر چنین تحولات بسیار خسته کننده بوده است، آنها نیاز به اجرای دستی تعداد زیادی از عملیات های ریاضی است که بر روی تعدادی از نقاط که توصیف تابع موج بستگی دارد. به منظور تسهیل در حل و فصل، امروز، برنامه های ویژه، مجاز به پیاده سازی جدید وجود دارد روش های تحلیلی. بنابراین، در سال 1965، Dzheyms ها Kuli و Dzhon Tyuki نرم افزاری است که شناخته شده به عنوان "تبدیل فوریه سریع" تبدیل شدند. این موجب صرفه جویی در زمان محاسبه شده توسط کاهش تعداد ضرب در تجزیه و تحلیل از منحنی. "تبدیل فوریه سریع" این روش بر تقسیم منحنی به تعداد زیادی از مقادیر نمونه یکنواخت است. بر این اساس، تعداد ضرب به نصف کاهش می یابد در همان کاهش تعداد نقاط.

استفاده از تبدیل فوریه

این فرآیند در زمینه های مختلف استفاده می شود: در نظریه اعداد، فیزیک، پردازش سیگنال، ترکیبیات، نظریه احتمال، رمزنگاری، آمار، اقیانوس شناسی، اپتیک، آکوستیک، و هندسه است. امکانات غنی برای استفاده از آن بر روی تعدادی از ویژگی های مفید، که به نام بر اساس "خواص از تبدیل فوریه." اجازه دهید ما آنها را بررسی کند.

1. تابع تبدیل یک عملگر خطی است و عادی مربوطه واحد است. این ویژگی به عنوان قضیه پارسوال شناخته شده است، و یا در حالت کلی، قضیه Plansherelja یا Pontrjagin دوگانگی.

2. تبدیل برگشت پذیر است. علاوه بر این، در نتیجه در مقابل شکل قابل ملاحظه ای مشابه در پرداختن مستقیم است.

3. از عبارات اساسی سینوسی توابع متفاوت خود را دارند. این به این معنی است که چنین نمایندگی تغییر معادلات خطی با ضرایب ثابت در یک جبری معمولی است.

4. با توجه به "پیچیدگی" قضیه، روند باعث می شود یک عملیات پیچیده در ضرب ابتدایی.

5. گسسته تبدیل فوریه می تواند به سرعت بر روی یک کامپیوتر با استفاده از روش "سریع" طراحی شده است.

تغییرات از تبدیل فوریه

1. اغلب این اصطلاح برای اشاره به تغییر پیوسته، ارائه هر گونه بیان درجه دوم انتگرال به عنوان مجموع عبارت پیچیده نمایی با فرکانس خاص و زاویه ای و دامنه. این گونه دارای چند اشکال مختلف، که ممکن است ضرایب مختلف ثابت است. روش مستمر شامل یک جدول تبدیل، که می تواند در کتابچه های ریاضی پیدا شده است. مورد تعمیم تبدیل کسری، به موجب آن این فرایند را می توان به قدرت واقعی مورد نظر مطرح شده است.

2. روش مداوم یک کلیت از روش های قبلی از سری فوریه تعریف شده برای هر است توابع تناوبی و یا عبارت، که در یک منطقه محدود وجود دارد و نشان دهنده آنها را به عنوان یک سری از توابع سینوسی.

3. گسسته تبدیل فوریه. این روش در محاسبه برای محاسبات علمی و پردازش سیگنال دیجیتال استفاده می شود. برای انجام این نوع از محاسبات مورد نیاز برای یک تابع از تعیین در یک مجموعه گسسته نقاط، ناحیه متناوب یا محدود، به جای انتگرال فوریه مداوم. تبدیل سیگنال در این مورد به عنوان یک مجموع توابع سینوسی نشان داده است. استفاده از روش "سریع" اجازه می دهد تا با استفاده از راه حل های دیجیتال برای تمام اهداف عملی.

4. پنجره فوریه تبدیل یک دیدگاه کلی از روش های کلاسیک است. بر خلاف راه حل استاندارد هنگامی که طیف سیگنال استفاده شده است، که در طیف گسترده ای از وجود این متغیر گرفته است علاقه خاصی در اینجا تنها توزیع فراوانی محلی در حالی که حفظ متغیر اصلی (زمان) است.

5. فوریه دو بعدی تبدیل کند. این روش استفاده می شده است به کار با آرایه دو بعدی از داده ها. در چنین حالتی، تبدیل شده است در یک جهت انجام، و پس از آن - در دیگر.

نتیجه

امروز، روش تبدیل فوریه به طور جدی در زمینه های مختلف علم را مستحکمتر میکند. برای مثال، در سال 1962 آن را به شکل مارپیچ DNA دو با استفاده از تجزیه و تحلیل فوریه در رابطه با پراش پرتو X را باز کرد. کریستال های اخیر در الیاف DNA متمرکز شده است، و در نتیجه یک تصویر است که با استفاده از پراش به دست آمده، ثبت شده در این فیلم است. این تصویر اطلاعات در مورد ارزش دامنه با استفاده از تبدیل فوریه این ساختار بلوری است. اطلاعات فاز به دست آمده با مقایسه کارت های پراش DNA با کارت های که در تجزیه و تحلیل ساختار شیمیایی مشابه به دست آمده. به عنوان یک نتیجه، زیست شناسان ترمیم ساختار بلوری - تابع اصلی است.

تبدیل فوریه نقش بزرگی در این مطالعه از فضا، فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار، زلزله شناسی و معاینات پزشکی را بازی کند.