معادله از هواپیما: چگونه به؟ انواع معادلات هواپیما

فضای هواپیما را می توان به روش های مختلف (یک نقطه و بردار، بردار و دو نقطه، سه نقطه، و غیره) تعریف شده است. این است که با این در ذهن، معادله هواپیما می تواند انواع مختلف داشته باشد. همچنین تحت شرایط خاصی هواپیما ممکن است موازی، عمود بر، متقاطع، و غیره در این و در این مقاله صحبت خواهد کرد. ما خواهد آموخت را به معادلات کلی هواپیما و نه تنها.

شکل عادی معادله

فرض کنید R فضای _3، که دارای یک مستطیل شکل دستگاه مختصات XYZ است. تعریف ما α بردار، خواهد شد که از نقطه شروع O. تا پایان α بردار منتشر جلب هواپیما P است که عمود بر آن.

معنی P در خودسرانه نقطه Q = (X، Y، Z). بردار شعاع نقطه Q نامه را امضا ص طول بردار برابر ص α = IαI و Ʋ = (cosα، cosβ، cosγ).

این بردار واحد است، که در جهت به عنوان α بردار است. α، β و γ - زاویه که بین بردار و جهت مثبت تشکیل Ʋ محور فضای X، Y، Z هستند. طرح از یک نقطه در بردار QεP Ʋ ثابت به p (فسفر، Ʋ) = P (r≥0) است که برابر است.

معادله بالا معنی دار هنگامی که P = 0 است. تنها هواپیمای n در این مورد، O نقطه (α = 0) است، که منشا، و Ʋ بردار واحد، آزاد شده از نقطه O عبور عمود بر P خواهد بود، اگر چه جهت آن، که بدان معنی است که Ʋ بردار تعیین تا نشانه. معادله قبلی هواپیما P ما است، بیان شده در شکل بردار. اما با در نظر مختصات آن است:

P بزرگتر یا مساوی به 0. ما معادله هواپیما به شکل طبیعی اند.

معادله عمومی

اگر معادله در مختصات ضرب هر عدد است که برابر با صفر نیست، ما معادل معادله به این که این هواپیما بسیار تعریف می کند به دست آورد. آن را به شکل زیر را داشته باشد:

در اینجا، A، B، C - تعداد به طور همزمان از صفر است. این معادله معادله به فرم کلی هواپیما نامیده می شود.

معادلات هواپیماهای. موارد خاص

معادله به طور کلی می تواند با شرایط اضافی اصلاح شود. برخی از آنها در نظر بگیرید.

فرض کنید که ضریب 0. است این نشان می دهد که موازی هواپیما به گاو محور از پیش تعیین شده. در این مورد، به شکل معادله را تغییر: وو + CZ + D = 0.

به طور مشابه، به شکل معادله و با شرایط زیر متفاوت خواهد بود:

• مرحله اول، اگر B = 0، تغییرات معادله به تبر + CZ + D = 0، که موازی با محور Oy یکی نشان می دهد.
• ثانیا، اگر C = 0، معادله به تبر + توسط + D = 0 تبدیل شده است، که در مورد موازی با محور از پیش تعیین شده اوز می گویند.
• سوم، اگر D = 0، معادله را به عنوان تبر + توسط + CZ = 0، که بدان معنی است که این هواپیما را قطع O (مبدا) ظاهر خواهد شد.
• چهارم، اگر A = B = 0، تغییرات معادله به CZ + D = 0، که ثابت خواهد کرد موازی اکسی.
• پنجم، اگر B = C = 0، معادله ax + D = 0، که بدان معنی است که صفحه ای به موازات Oyz است تبدیل می شود.
• ششم، اگر A = C = 0، معادله به شکل وو + D = 0، به عنوان مثال، به Oxz موازی گزارش دهد.

از معادله در بخش

در مورد که در آن تعداد A، B، C، D متفاوت از صفر، بصورت رابطه (0) ممکن است شرح زیر است:

X / A + Y / B + Z / C = 1،

در جایی که یک = -D / A، B = -D / B، C = -D / C.

ما به عنوان یک معادله نتیجه از هواپیما در قطعه دریافت خواهید کرد. لازم به ذکر است که این هواپیما را محور x در نقطه با مختصات (A، 0،0)، OY همدیگر را قطع - (0، B، 0)، و اوز - (0،0، بازدید کنندگان).

با توجه به معادله X / A + Y / B + Z / C = 1، آن را دشوار است به تجسم هواپیما قرار دادن نسبت به یک سیستم از پیش تعیین شده هماهنگ می کند.

مختصات بردار نرمال

در n بردار نرمال به هواپیما P است مختصات که ضرایب معادله عمومی از هواپیما، به عنوان مثال N (A، B، C) می باشد.

به منظور تعیین مختصات N عادی، آن را به مطمئن شوید معادله کلی داده هواپیما کافی است.

هنگامی که با استفاده از معادله در بخش های، که به شکل X / A + Y / B + Z / C = 1، به عنوان زمانی با استفاده از معادله کلی را می توان مختصات هر بردار نرمال نوشته شده است یک هواپیما داده شده: (1 / A + 1 / ب + 1 / ج).

لازم به ذکر است که بردار نرمال برای کمک به حل مسائل مختلف. رایج ترین مشکلات هستند شامل در هواپیما عمود بر یا موازی اثبات، کار پیدا کردن زاویه بین هواپیما و یا زاویه بین هواپیما و خط راست.

نوع با توجه به معادله هواپیما و مختصات نقطه بردار نرمال

An از یک X غیر صفر بردار، عمود بر یک هواپیما داده شده، به نام نرمال (طبیعی) به یک هواپیما از پیش تعیین شده.

فرض کنید که در فضای هماهنگ (مستطیل سیستم مختصات) Oxyz مجموعه:

• نقطه Mₒ با مختصات (hₒ، uₒ، zₒ)؛
• بردار صفر N = A * I + B * J + C * k است.

شما نیاز به ایجاد رابطه از هواپیما که از طریق نقطه Mₒ عبور عمود بر N طبیعی است.

در فضای ما هر نقطه دلخواه را انتخاب کنید و معنی M (X، Y، Z). اجازه دهید بردار شعاع هر نقطه M (X، Y، Z) خواهد بود و r = X * من + Y * J + Z * k و بردار شعاع یک Mₒ نقطه (hₒ، uₒ، zₒ) - rₒ = hₒ * I + uₒ * J + zₒ * k است. نکته M به هواپیما داده شده تعلق خواهد، اگر MₒM بردار عمود بر بردار n باشد. ما در نوشتن شرط تعامد با استفاده از حاصلضرب عددی:

[MₒM، نفر] = 0.

از آنجا که MₒM = R-rₒ، معادله برداری از هواپیما خواهد شد مثل این:

[R - rₒ، نفر] = 0.

این معادله نیز می تواند شکل دیگری داشته باشد. برای این منظور، خواص حاصلضرب عددی، و تبدیل سمت چپ از معادله است. [R - rₒ، نفر] = [R، N] - [rₒ، n] نشان می اگر [rₒ، n] را نشان می دهیم، به عنوان، ما از معادله زیر به دست آورد: [R، N] - یک = 0 یا [R، N] = بازدید کنندگان، که بیانگر ثابت بودن بینی در بردار نرمال از شعاع بردار از نقطه داده شده که متعلق هواپیما.

حالا شما می توانید دریافت مختصات هواپیما ضبط نوع معادله بردار [R - rₒ، نفر] = 0. از آنجا که R-rₒ = (X-hₒ) * من + (Y-uₒ) * J + (Z-zₒ) * k و N = A * I + B * J + C * K، ما را داشته باشد:

به نظر می رسد که ما باید معادله تشکیل می شود هواپیما عبور از نقطه عمود بر N نرمال:

A * (X hₒ) + B * (Y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

نوع با توجه به معادله هواپیما و مختصات دو نقطه از خط مستقیم واقع شونده هواپیما بردار

دو نقطه دلخواه M (X '، y را، Z) و M "(X"، Y "، الف")، و همچنین به عنوان بردار (یک، یک "، یک ‴) تعریف می کنیم.

حالا ما می توانیم معادله از پیش تعیین شده هواپیما که از طریق نقطه M موجود و M "عبور می کند، و هر نقطه با مختصات M (X، Y، Z) به موازات یک بردار داده ارسال.

بنابراین بردار M'M X = {X '، Y-Y'؛ ZZ '} و M "M = {X" -x، Y "y" را؛ الف "-z'} باید همسطح با بردار شود A = (یک، یک "، یک ‴)، که بدان معنی است که (M'M M" M، A) = 0.

بنابراین در معادله ما از یک هواپیما در فضا خواهد شد مثل این:

نوع معادله هواپیما، عبور سه نقطه

بیایید می گویند ما سه نقطه: (X، Y، Z)، (X، Y، Z)، (X ‴ ‴ اند، Z ‴)، که به همان خط تعلق ندارد. آن را به ارسال معادله از هواپیما عبور از سه نقطه مشخص شده ضروری است. نظریه هندسه استدلال می کند که این نوع از هواپیما وجود دارد، آن را فقط یک و تنها. از آنجا که این هواپیما را قطع نقطه (x، y را، Z)، معادلات آن خواهد بود:

در اینجا، A، B و C از صفر در همان زمان است. همچنین هواپیما داده تقاطع دو نقطه بیشتر (X "، Y"، الف ") و (x ‴، Y ‴، Z ‴). در این ارتباط باید این نوع از شرایط انجام:

حالا ما می توانیم یک سیستم یکنواخت ایجاد معادلات (خطی) با ناشناختهها U، V، W:

در مورد ما X، Y و Z می ایستد نقطه دلخواه که ارضا معادله (1). با توجه به معادله (1) و یک سیستم معادلات (2) و (3) سیستم معادلات نشان داد که در شکل بالا، ارضا بردار N (A، B، C) کوچک اما با اهمیت است. به این دلیل است تعیین کننده از سیستم صفر است.

معادله (1) که ما باید این معادله از هواپیما است. 3 نقطه او واقعا می رود، و آن را آسان به تیک بزنید. برای انجام این کار، ما تعیین گسترش توسط عناصر در ردیف اول. از خواص موجود تعیین می شود که هواپیمای ما به طور همزمان تقاطع سه نقطه در اصل از پیش تعیین شده (X، Y، Z ')، (X "، Y"، الف ")، (X ‴، Y ‴، Z ‴). بنابراین ما تصمیم به کار در مقابل ما است.

زاویه دوسطحی بین هواپیما

زاویه دوسطحی یک شکل هندسی فضایی تشکیل شده توسط دو نیمه هواپیما که از یک خط مستقیم سرچشمه است. به عبارت دیگر، بخشی از فضا است که به نیمه هواپیما محدود شده است.

فرض، دو هواپیما با معادلات زیر است:

ما می دانیم که N بردار = (A، B، C) و N¹ = (A¹، H¹، S¹) با توجه به هواپیماهای پیش تعیین عمود هستند. در این راستا، زاویه φ بین بردارها N و N¹ زاویه برابر (دوسطحی) است، که بین این هواپیما واقع شده است. این محصول اسکالر است با:

NN¹ = | N || N¹ | COS φ،

دقیقا به این دلیل

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

این به اندازه کافی در نظر بگیرید که 0≤φ≤π است.

در واقع دو هواپیما که از وسط قطع، فرم دو زاویه (دوسطحی): φ ₁ و _{2 φ.} مجموع آنها برابر با عدد (φ φ ₁ + ₂ = π) است. همانطور که برای کسینوس خود، ارزش های مطلق آنها با هم برابر هستند، اما آنها نشانه های مختلف هستند، این است که، چون φ ₁ = -cos φ _2. اگر در معادله (0) توسط A، B و C -A، B و -C ترتیب، معادله جایگزین، ما به دست آورد، خواهد همان هواپیما φ در Cos φ معادله تعیین، تنها زاویه = NN ¹ / | N || N ¹ | آن خواهد شد توسط π-φ جایگزین شده است.

معادله صفحه عمود بر

نام عمود بر هواپیما، بین که زاویه 90 درجه است. با استفاده از مواد ارائه شده فوق، می توان معادله یک صفحه عمود بر دیگر پیدا کنید. فرض کنید ما دو هواپیما: تبر + توسط + CZ + D = 0، و + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. می توان گفت که آنها متعامد هستند اگر چون = 0. این به این معنی است که NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + 0 =

معادله یک هواپیما موازی

آن را به دو سطح موازی که شامل هیچ نقطه مشترک نامیده می شود.

شرط از صفحات موازی (معادلات خود همان است که در پاراگراف قبلی) است که بردار N و N¹ که عمود بر آنها هستند، واقع شونده. این به این معنی است که شرایط زیر را تناسب ملاقات کرد:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

اگر از نظر متناسب است گسترش یافته است - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹،

این نشان می دهد که هواپیما داده از همان. این به این معنی است که معادله ax + by + CZ + D = 0 و + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 توصیف یک هواپیما.

فاصله از نقطه به هواپیما

فرض کنید ما یک هواپیما P، است که توسط (0) داده شده است. لازم است برای پیدا کردن فاصله از نقطه با مختصات (hₒ، uₒ، zₒ) = Qₒ. ، شما نیاز به آوردن معادله در هواپیما دوم ظاهر طبیعی به آن را:

(Ρ، V) = P (r≥0).

در این مورد، ρ (X، Y، Z) بردار شعاع نقطه Q ما، واقع در N p است - n طول عمود بر، که از نقطه صفر منتشر شد، V - بردار یکه، است که در جهت یک مرتب شده است.

تفاوت ρ-ρº بردار شعاع از یک نقطه Q = (X، Y، Z)، متعلق به n و بردار شعاع یک نقطه داده شده Q ₀ = (hₒ، uₒ، zₒ) است مانند یک بردار، ارزش مطلق از طرح که در V برابر فاصله د، که لازم است برای پیدا کردن از Q = ₀ (hₒ، uₒ، zₒ) به P:

D = | (ρ ^ρ-0، V) |، اما

(ρ ^ρ-0، V) = (ρ، V ) - (ρ ^0، V) = P (ρ ^0، V).

پس از آن معلوم،

د = | (ρ ^0، V) ص |.

حالا روشن است که برای محاسبه فاصله د از ₀ تا Q هواپیما P، لازم است به استفاده از معادله مشاهده صفحه عمود بر، تغییر جهت به سمت چپ p و آخرین جایی از x، y، جایگزین Z (hₒ، uₒ، zₒ).

بنابراین، ما از ارزش مطلق عبارت حاصل است که لازم است د را پیدا

با استفاده از پارامترهای زبان، ما از آشکار:

د = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

اگر نقطه مشخص Q ₀ است در طرف دیگر از هواپیما P به عنوان مبدا، سپس بین بردار ρ ^ρ-0 و v است یک زاویه منفرجه، در نتیجه:

د = - (ρ ^ρ-0، V) = (ρ ^0، V) -p> 0.

در مورد زمانی که نقطه Q ₀ در رابطه با منشاء واقع در همان سمت از U، زاویه حاد ایجاد می شود، این است که:

D = (ρ ^ρ-0، V) = P - (ρ ^0، V)> 0.

نتیجه این است که در حالت اول (ρ ^0، V)> P، در دوم (ρ ^0، V) <ص

و معادله هواپیما مماس آن

با توجه به هواپیما به سطح در نقطه مماس Mº - یک هواپیما که شامل همه مماس ممکن به منحنی کشیده شده از طریق آن نقطه بر روی سطح.

با استفاده از این فرم سطح معادله F (X، Y، Z) = 0 در معادله از Mº نقطه هواپیما مماس مماس (hº، uº، zº) خواهد بود:

F _X (hº، uº، zº) (hº X) + F _X (hº، uº، zº) (uº Y) + F _X (hº، uº، zº) (Z-zº) = 0.

اگر سطح قرار است به صراحت Z = F (X، Y)، سپس هواپیما مماس با معادله توصیف شده است:

Z-zº = ج (hº، uº) (hº X) + F (hº، uº) (Y uº).

تقاطع دو هواپیما

در فضای سه بعدی یک سیستم مختصات (مستطیل) Oxyz، با توجه به دو هواپیما P و P که با هم همپوشانی دارند و انجام همزمان نیست است. از آنجا که هر هواپیما، است که در یک سیستم مختصات مستطیل شکل تعریف شده توسط معادله به طور کلی، ما فرض کنیم که N + B X '+ y "را" = 0 و A و n با معادلات A'x + V'u S'z + + D تعریف " با "Z + D" = 0. در این صورت ما باید N طبیعی "(A '، B'، 'C) از هواپیما P' و n عادی" (A "، B"، C ") از هواپیما فسفر. به عنوان هواپیمای ما موازی نیستند و را منطبق نیست، پس از آن این بردارها واقع شونده است. با استفاده از زبان ریاضیات، ما باید این وضعیت را می توان به عنوان نوشته: N '≠ N "↔ (A'، B '،' C) ≠ (λ * و"، λ * در "، λ * C")، λεR. اجازه دهید که خط مستقیم نهفته است که در تقاطع P و P "، خواهد شد توسط نامه مشخص می شود، در این مورد یک = P '∩ P".

و - یک خط متشکل از یک کثرت از نقاط (مشترک) هواپیماهای P و P ". این به این معنی است که مختصات هر نقطه متعلق به خط یک، به طور همزمان باید برآورده معادله A'x + V'u S'z + + D '= 0 و یک "X + B + C Y" Z + D "= 0. این بدان معنی است که مختصات نقطه خواهد بود یک راه حل ویژه از معادلات زیر است:

نتیجه این است که راه حل (کلی) دستگاه معادله مختصات هر یک از نقاط روی خط که به عنوان نقطه تقاطع P و P "عمل می کنند را تعیین خواهد کرد، و تعیین یک خط در یک سیستم مختصات Oxyz (مستطیل) فضا.