روش Cramer و کاربرد آن

روش Cramer یکی از روش های دقیق برای حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE) است. دقت آن به علت استفاده از تعیین کننده های ماتریس سیستم و محدودیت های خاصی است که در طول اثبات قضیه اعمال می شود.

یک سیستم از معادلات جبری خطی با ضرایب متعلق به، به عنوان مثال، به مجموعه ای از اعداد حقیقی R از ناشناخته x1، x2، ...، xn مجموعه ای از عبارات فرم

Ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi برای i = 1، 2، ...، m، (1)

جایی که aij، bi تعداد واقعی هستند. هر یک از این عبارات معادله خطی نامیده می شود ، aij - ضرایب برای ناشناخته ها، ضرایب بی معنی معادلات.

یک راه حل سیستم (1) بردار n بعدی است: x ° = (x1 °، x2 °، ...، xn °)، که در هنگام جایگزینی به سیستم، به جای ناشناخته x1، x2، ...، xn، هر ردیف در سیستم، یک برابری واقعی می شود .

گفته می شود که یک سیستم یک مشترک است اگر حداقل یک راه حل داشته باشد و اگر راه حل آن با مجموعه خالی سازگار باشد ناسازگار است.

لازم به ذکر است که برای پیدا کردن یک راه حل برای سیستم های معادلات جبری خطی با استفاده از روش کرامر، ماتریس های سیستم باید مربع باشند، که اساسا به معنی تعداد معدودی از معایب و معایب سیستم است.

بنابراین، برای استفاده از روش Cramer، باید حداقل بداند که ماتریس سیستم معادلات جبری خطی چگونه است و چگونه نوشته شده است. و دوم اینکه، برای درک چیزی است که تعیین کننده ماتریس نامیده می شود و مهارت های محاسبه آن را می داند.

فرض کنید شما این دانش را دارید. شگفت آور! سپس شما فقط باید فرمول هایی را که روش Cramer را تعیین می کنند را به خاطر بسپارید. برای ساده سازی حافظه ما از نماد زیر استفاده می کنیم:

• Det تعیین کننده اصلی ماتریس سیستم می باشد.

• Deti تعیین کننده ماتریس به دست آمده از ماتریس اصلی سیستم است اگر ستون i-th از ماتریس را با یک بردار ستون جایگزین کنیم که عناصر سمت راست سیستم های معادلات جبری خطی هستند؛

• N تعداد ناشناخته ها و معادلات در سیستم است.

سپس قانون کرامر برای محاسبه کامپوننت i-th xi (i = 1، ... n) از بردار n-dimensional x می تواند در شکل زیر نوشته شود

Xi = deti / Det، (2).

Det به شدت غیر صفر است.

منحصر به فرد راه حل سیستم زمانی که سازگار است، تضمین می کند که تعیین کننده اصلی سیستم صفر است. در غیر این صورت، اگر مجموع (xi)، مربع، به طور کامل مثبت باشد، SLAE با ماتریس مربع ناسازگار خواهد بود. این می تواند به ویژه اتفاق بیافتد، وقتی که حداقل یکی از آن ها از صفر متفاوت است.

مثال 1 سیستم سه بعدی LAU را با استفاده از فرمول Cramer حل کنید.
X1 + 2 x2 + 4 x3 = 31،
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29،
3 x1 - x2 + x3 = 10.

راه حل ما ماتریس خط سیستم را به صورت خطی می نویسیم، جایی که Ai ردیف i ام ماتریس است.
A1 = (1 2 4)، A2 = (5 1 2)، A3 = (3 -1 1 1).
ستون ضرایب آزاد b = (31 29 10).

تعیین کننده اصلی سیستم دت است
a = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a32 a23 a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

برای محاسبه det1، ما از جایگزینی a11 = b1، a21 = b2، a31 = b3 استفاده می کنیم. سپس
Det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 a33 b2 a12 = ... = -81.

به طور مشابه، برای محاسبه det2، ما از جایگزینی a12 = b1، a22 = b2، a32 = b3 استفاده می کنیم و به این ترتیب برای comp3 det3 = a13 = b1، a23 = b2، a33 = b3.
سپس شما می توانید که det2 = -108 و det3 = -135 را بررسی کنید.
با توجه به فرمول Cramer، x1 = -81 / (-27) = 3، x2 = -108 / (-27) = 4، x3 = -135 / (-27) = 5 را پیدا می کنیم.

پاسخ این است: x ° = (3،4،5).

بر اساس شرایط استفاده از این قانون، روش حل معادلات خطی Cramer را می توان به طور غیرمستقیم، به عنوان مثال، برای بررسی سیستم برای تعداد قابل توجهی از راه حل های بسته به مقدار برخی از پارامتر k.

مثال 2: برای تعیین مقادیر پارامتر k نابرابری | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 دارای دقیقا یک راه حل است.

راه حل
این نابرابری، با توجه به تعریف مدول یک تابع، می تواند تنها اگر هر دو عبارات به طور همزمان برابر صفر باشند، راضی می شود. بنابراین، این مشکل به یافتن یک راه حل از یک سیستم خطی معادلات جبری محدود می شود

Kx - y = 4،
X + ky = -4.

راه حل این سیستم منحصر به فرد است اگر آن را تعیین کننده اصلی است
Det = k ^ {2} + 1 غیر صفر است. بدیهی است که این شرط برای تمام مقادیر واقعی پارامتر k رضایت می یابد.

جواب: برای تمام مقادیر واقعی پارامتر k.

به مشکلات این نوع، بسیاری از مشکلات عملی از رشته ریاضیات، فیزیک یا شیمی نیز می تواند کاهش یابد .