آونگ: دوره و شتاب از فرمول

سیستم مکانیکی است که متشکل از یک نقطه نظر مواد (بدن)، که آویزان روی یک رشته بسط ناپذیر وزن (جرم آن قابل اغماض است در مقایسه با وزن بدن) در یک میدان گرانشی یکنواخت، به نام آونگ ریاضی (نام دیگری - نوسان ساز). انواع دیگری از دستگاه وجود دارد. به جای یک میله وزن رشته استفاده می شود. آونگ به وضوح می توانید جوهر بسیاری از پدیده های جالب نشان می دهد. هنگامی که دامنه ارتعاشات کوچک از حرکت آن است هارمونیک نامیده می شود.

اطلاعات عمومی در مورد سیستم مکانیکی

فرمول دوره نوسان آونگ هویگنس دانشمند هلندی تربیت شده بود (1629-1695 GG.). این معاصر اسحاق نیوتن بسیار علاقه داشتن به سیستم مکانیکی بود. او در سال 1656 ایجاد ساعت اول با یک مکانیزم آونگ. آنها زمان با دقت فوق العاده برای کسانی که بار اندازه گیری شد. این اختراع یک قدم بزرگ در توسعه آزمایش های فیزیکی و فعالیت های عملی بود.

اگر آونگ را در موقعیت تعادل (حلق آویز عمودی) است، نیروی گرانش خواهد شد و متعادل کننده شده توسط نیروی کشش نخ. آونگ صاف بر روی یک نخ غیر قابل کشش یک سیستم با دو درجه آزادی از ارتباط است. هنگام تغییر تنها بخشی از تغییر ویژگی های تمام قطعات آن است. برای مثال، اگر یک موضوع است که توسط یک میله جایگزین، پس از این سیستم مکانیکی تنها 1 درجه آزادی است. چه، پس از، خواص آونگ ریاضی؟ در این سیستم ساده، تحت تاثیر اغتشاش دوره، هرج و مرج به نظر می رسد. در این صورت، هنگامی که نقطه تعلیق در حال حرکت است، و در نوسان آونگ یک وضعیت تعادلی جدید وجود دارد. اگر نوسانات سریع بالا و پایین این سیستم مکانیکی می شود موقعیت پایدار "وارونه." این شهر همچنین دارای نام آن است. از آن به نام Kapitza آونگ.

خواص آونگ

آونگ دارای خواص بسیار جالب است. همه آنها توسط قوانین فیزیکی شناخته شده پشتیبانی می شود. دوره نوسان آونگ هر بسته به شرایط مختلف از جمله اندازه و شکل بدن، فاصله بین نقطه از تعلیق و مرکز ثقل، توزیع وزن با توجه به این نکته است. به همین دلیل است تعریف دوره حلق آویز بدن کاملا به چالش کشیدن است. بسیار ساده تر است برای محاسبه مدت یک آونگ ساده، فرمول که در زیر آورده شده. به عنوان یک نتیجه از مشاهده این الگوها را می توان در سیستم های مکانیکی مشابه مجموعه:

• اگر، در حالی که حفظ همان طول آونگ، به حالت تعلیق از انواع بارهای، دوره نوسان دریافت مشابه، اگر چه وزن خود را تا حد زیادی متفاوت خواهد بود. در نتیجه، دوره آونگ می کند در وزن بار بستگی ندارد.

• اگر سیستم شروع به کاهش در آونگ خیلی بزرگ نیست، اما زوایای مختلف، آن را با مدت مشابه در نوسان است، اما در دامنه های مختلف. در حالی که انحراف از مرکز تعادل است نوسانات بیش از حد بزرگ در فرم خود را به اندازه کافی نزدیک هارمونیک خواهد بود. دوره چنین آونگ بر روی دامنه ارتعاشی بستگی ندارد. این خاصیت از سیستم مکانیکی است که به نام ایجاد همزمانی (در "که Chronos" یونانی - زمان "Izosov" - برابر).

دوره یک آونگ ساده

این آمار نشان دهنده دوره طبیعی نوسان. با وجود فرمول های پیچیده، روند خود را بسیار ساده است. اگر طول نخ آونگ ریاضی L، و شتاب گرانشی گرم، این مقدار برابر است با:

T = 2π√L / گرم

مدت کمی از نوسانات طبیعی به هیچ وجه بر روی جرم آونگ و دامنه نوسان بستگی ندارد. در این مورد، به عنوان یک آونگ ریاضی با کاهش طول حرکت می کند.

نوسانات آونگ ریاضی

آونگ ریاضی نوسان، که می تواند توسط یک معادله دیفرانسیل ساده:

X + ω2 گناه و 0 = x

که در آن x (t) را - تابع ناشناخته (این زاویه انحراف از موقعیت پایین تر از تعادل در زمان t، بیان شده در رادیان)؛ ω - یک ثابت مثبت است که از پارامترهای آونگ (ω = √g / L، تعیین که در آن g - شتاب جاذبه، و L - طول آونگ ساده (تعلیق).

معادله نوسانات کوچک در نزدیکی موقعیت تعادلی (معادله هارمونیک) شرح زیر است:

X + ω2 گناه و 0 = x

حرکت نوسانی آونگ

آونگ، که باعث می شود نوسانات کوچک، در حال حرکت سینوسی. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با تمام الزامات و پارامترهای چنین جنبشی. برای تعیین مسیر شما نیاز به تنظیم سرعت و مختصات، که بعد ثابت مستقل تعیین می شود:

X = A گناه (θ ₀ + ωt)،

که در آن θ ₀ - فاز اولیه، A - دامنه نوسان، ω - فرکانس چرخه ای تعیین شده از معادلات حرکت.

آونگ (فرمول برای دامنه های بزرگ)

این سیستم مکانیکی، انجام نوسانات خود را با یک دامنه بزرگ، آن را منوط به قوانین راهنمایی و رانندگی پیچیده تر است. آنها با توجه به فرمول برای چنین آونگ محاسبه می شود:

گناه * / 2 = U * SN (ωt / U)،

که در آن SN - سینوسی ژاکوبی، که برای تو <1 یک تابع متناوب است، و برای تو کوچک آن را با سینوسی ساده مثلثاتی منطبق است. مقدار u توسط عبارت زیر تعیین می شود:

U = (ε + ω2) / 2ω2،

که در آن ε = E / ML2 (ML2 - انرژی پاندول).

تعیین دوره تناوب نوسانات غیرخطی پاندول توسط فرمول زیر:

T = 2π / Ω،

که در آن Ω = π / 2 * ω / 2K (U)، K - بیضوی انتگرال، π - 3،14.

جنبش آونگ از separatrix

این مسیر separatrix از سیستم پویا، که در آن یک فضای فاز دو بعدی نامیده می شود. آونگ در غیر دوره ای حرکت می کند. در نقطه بی نهایت دور از زمان آن را از سمت موقعیت فوقانی به سمت سرعت صفر قطره، و سپس آن را به تدریج به دست آوردن. او در نهایت متوقف شد، بازگشت به جایگاه اصلی آن است.

اگر دامنه نوسان آونگ روش پی شماره، گفته می شود که حرکت در سطح مرحله نزدیک به separatrix است. در این مورد، تحت عمل یک نیروی کوچک رانندگی دوره ای سیستم مکانیکی نمایشگاه رفتار پر هرج و مرج.

در صورت آونگ ساده از موقعیت تعادل با CP زاویه رخ می دهد نیروی مماسی Fτ = گناه -mg φ گرانش. "منفی" نشانه بدان معنی است که جزء مماس کارگردانی در جهت مخالف از جهت انحراف از آونگ. هنگام اشاره طریق جابجایی آونگ X همراه دایره ای با شعاع L به جابجایی φ زاویه ای آن = X / L برابر است قانون دوم Isaaka Nyutona، طراحی شده برای طرح از بردار شتاب و قدرت را به مقدار مورد نظر:

میلی گرم τ = Fτ = -mg گناه * / L

بر اساس این نسبت، روشن است که آونگ یک سیستم غیر خطی است، به عنوان یک نیروی است که تمایل به بازگشت به وضعیت تعادل خود است، نه همیشه متناسب با جابجایی ایکس، یک گناه * / L

تنها زمانی که آونگ ریاضی انجام ارتعاشات کوچک، آن را به یک نوسانگر هماهنگ است. به عبارت دیگر، آن را یک سیستم مکانیکی قادر به انجام نوسانات هارمونیک شود. این تقریب معتبر است برای تقریبا زاویه 15-20 درجه است. آونگ با دامنه بزرگ است هماهنگ نیست.

قانون نیوتون برای نوسانات کوچکی از یک آونگ

اگر سیستم مکانیکی انجام نوسانات کوچک، قانون 2 نیوتون خواهد شد مثل این:

میلی گرم τ = Fτ = -m * گرم / L * x است.

بر این اساس، می توان نتیجه گرفت که شتاب مماسی یک آونگ ساده متناسب به جابه جایی آن را با علامت "منفی" است. این شرط به موجب آن سیستم یک نوسانگر هماهنگ می شود است. عامل تناسب ماژول بین جابجایی و شتاب برابر است با مربع از فرکانس زاویه ای:

ω02 = G / L؛ ω0 = √ گرم / L

این فرمول نشان دهنده فرکانس طبیعی نوسانات کوچک از این نوع آونگ. بر این اساس،

T = 2π / ω0 = 2π√ گرم / L

محاسبات بر اساس قانون حفاظت از انرژی

خواص نوسان آونگ جنبش را می توان با کمک از قانون حفاظت از انرژی است. این را باید در نظر داشت که انرژی پتانسیل آونگ در یک میدان گرانشی است:

E = mgΔh = MGL (1 - چون α) = α mgL2sin2 / 2

کامل انرژی مکانیکی برابر پتانسیل جنبشی و حداکثر: Epmax = Ekmsx = E

پس از قانون حفاظت از انرژی، گرفتن مشتق از دو طرف چپ و راست معادله نوشته اند:

لطفا Ep + دانلود Ek = توایع

از آنجا که مشتق شده از ثابت برابر با 0 است، و سپس (EP + EK) '= 0. مشتق از مجموع برابر با مجموع مشتقات:

لطفا Ep '= (میلی گرم / L * X2 / 2)' = میلی گرم / 2L * 2X * X '= میلی گرم / L * V + دانلود Ek' = (MV2 / 2) = M / 2 (V2) '= متر / 2 * 2V * V '= MV * α،

بنابراین:

میلی گرم / L * پانزدهم + MVA = V (میلی گرم / L * X + متر α) = 0.

بر اساس فرمول گذشته، پیدا کنیم: α = - گرم / L * x است.

کاربرد عملی آونگ ریاضی

شتاب سقوط آزاد با عرض جغرافیایی متفاوت است، زیرا چگالی پوسته در اطراف این سیاره نیست یکسان است. که در آن سنگ ها را با چگالی بالاتر رخ می دهد، از آن خواهد شد کمی بالاتر است. شتاب آونگ ریاضی است که اغلب برای اکتشاف استفاده می شود. در کمک برای مواد معدنی مختلف دنبال آن است. به سادگی شمارش تعداد نوسانات یک آونگ، ممکن است برای تشخیص زغال سنگ و یا سنگ در روده از زمین است. این به خاطر این واقعیت است که این منابع دارای چگالی و وزن بیش از دروغ گفتن در زیر سنگ شل.

آونگ ریاضی مورد استفاده توسط محققان برجسته به عنوان سقراط، ارسطو، افلاطون، پلوتارک، ارشمیدس. بسیاری از آنها معتقد بودند که سیستم مکانیکی ممکن است به سرنوشت و زندگی را تحت تاثیر قرار. ارشمیدس آونگ ریاضی با محاسبات خود استفاده می شود. امروزه، بسیاری از occultists و دوامدار استفاده از این سیستم مکانیکی برای اجرای نبوت خود، و یا جستجو برای از دست رفته مردم است.

ستاره شناس معروف فرانسوی و دانشمند، Flammarion برای پژوهش خود نیز یک آونگ ریاضی استفاده می شود. او ادعا کرد که با کمک او او قادر به پیش بینی از کشف یک سیاره جدید، ظهور شهاب سنگ تونگوسکا (Tunguska)، و سایر رویدادهای مهم بود. در طول جنگ جهانی دوم در آلمان (برلین) به عنوان یک موسسه تخصصی آونگ کار کرده است. امروزه، چنین پژوهشی در دسترس موسسه مونیخ از فراروانشناسی است. کار خود را با آونگ کارکنان این نهاد به نام "radiesteziey".