مجموع زوایای یک مثلث. قضیه در مجموع زوایای یک مثلث

مثلث یک چند ضلعی داشتن سه طرف (سه زاویه) است. در اکثر موارد، قسمت مشخص شده حروف کوچک حروف بزرگ، که نشان دهنده راس مقابل مربوطه. در این مقاله ما نگاهی به این نوع از اشکال هندسی، قضیه، که تعریف می کند چه به مجموع زوایای یک مثلث برابر است.

انواع بزرگترین زاویه

انواع زیر از چند ضلعی با سه رأس:

• حاد زاویه دار، که در آن همه زاویه های تیز هستند.
• مستطیل شکل داشتن یک زاویه راست، سمت تشکیل آن، با اشاره به پاها، و سمت است که در مقابل به زاویه سمت راست دور انداخته است وتر به نام.
• منفرجه زمانی که یکی زاویه منفرجه است .
• متساوی الساقین، که دو طرف با هم برابر هستند، و آنها جانبی نامیده می شود، و سوم - یک مثلث با یک پایه.
• متساوی الاضلاع داشتن سه طرف مساوی است.

خواص

اختصاص خواص اولیه که از ویژگی های هر نوع از مثلث عبارتند از:

• روبهروی بزرگترین زاویه سمت همیشه بیشتر، و بالعکس است.
• زاویه برابر در مقابل مساوی بزرگترین حزب، و بالعکس می باشد.
• در هر مثلث دو زاویه حاد،
• زاویه بیرونی بیشتر از هر زاویه داخلی مجاور آنها نمیدهد.
• مجموع هر دو زاویه است که همیشه کمتر از 180 درجه؛
• زاویه بیرونی برابر با مجموع از دو گوشه دیگر، که با او mezhuyut است.

قضیه در مجموع زوایای یک مثلث

قضیه بیان می کند که اگر شما اضافه کردن تمام گوشه های شکل هندسی است، که در یک فضای اقلیدسی واقع، پس از آن حاصل جمع آنها خواهد بود 180 درجه است. بیایید سعی کنید به اثبات این قضیه.

اجازه دهید ما یک مثلث دلخواه با راس KMN. در بالای M را نگه دارید موازی مستقیم خط KN (حتی این خط اقلیدس نامیده می شود). لازم به ذکر است نقطه A به طوری که نقاط K و A از طرف های مختلف از خط MN مرتب شده اند. ما باید با همان زاویه AMS و MUF، که، مانند فضای داخلی، دروغ سوراخ به شکل متقاطع MN در رابطه با CN مستقیم و کارشناسی ارشد، که موازی هستند. از این که آن را زیر از مجموع زوایای مثلث، واقع در رئوس M و N به اندازه زاویه CMA برابر است. همه سه زاویه یک مبلغ را به مجموع زوایای از KMA و MCS مساوی تشکیل شده. از آنجا که داده می زوایای داخلی نسبی خطوط موازی طرفه CL و CM کارشناسی ارشد متقاطع، مجموع آنها 180 درجه است. این ثابت می کند که این قضیه.

نتیجه

از بالا قضیه فوق حاکی از نتیجه زیر است: هر مثلث دو زاویه میده. در اثبات این، فرض کنیم که این شکل هندسی تنها یک زاویه حاد. شما همچنین می توانید فرض کنیم که هیچ یک از گوشه ها تیز نیست. در این مورد باید حداقل دو زاویه، بزرگی که برابر یا بیشتر از 90 درجه باشد. اما پس از آن مجموع زوایای بزرگتر از 180 درجه است. اما این نمی تواند باشد، چون طبق زاویه مجموع قضیه از یک مثلث 180 درجه برابر است - نه بیشتر، نه کمتر. این چیزی است که تا به حال به ثابت شود.

املاک خارج گوشه

از مجموع زوایای یک مثلث، که خارجی چیست؟ پاسخ به این سوال را می توان با استفاده از یکی از دو روش بدست می آید. اولین این است که شما نیاز به پیدا کردن مجموع زوایای، که گرفته یکی در هر راس، که شده است، سه زاویه. دومین نشان میدهد که شما نیاز به پیدا مجموع شش زاویه را در راس. برای مقابله با آغاز تجسم. بنابراین، مثلث شامل شش گوشه خارجی - در بالای هر یک از این دو است. هر جفت زاویه مساوی بین خود، از آنجایی که آنها عمودی است:

∟1 = ∟4، ∟2 = ∟5، ∟3 = ∟6.

علاوه بر این، مشخص شده است که گوشه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع دو درون، که mezhuyutsya با او نیست. بنابراین،

∟1 = ∟A + ∟S، ∟2 = ∟A + ∟V، ∟3 = ∟V + ∟S.

از این رو آن به نظر می رسد که مجموع زوایای خارجی، که یک به یک نزدیک هر راس گرفته برابر خواهد بود با:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 * (∟A + ∟V ∟S +).

با توجه به این واقعیت است که مجموع زوایای برابر 180 درجه، می توان استدلال کرد که ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. این به این معنی است که ∟1 + ∟2 + ∟3 = X 2 = 180 درجه از 360 درجه. اگر گزینه دوم استفاده شده است، مجموع از شش زاویه دو برابر می شود نسبت بیشتر است. یعنی در مجموع از زاویه از یک مثلث خارج خواهد بود:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 * (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 درجه است.

راست گوشه

چه به مجموع زوایای یک مثلث راست برابر است، این جزیره است؟ پاسخ این است، باز هم، از قضیه، که می گوید زاویه از یک مثلث اضافه کردن به 180 درجه است. صدای ادعای ما (اموال) شرح زیر است: در یک مثلث راست زاویه های تیز اضافه کردن تا 90 درجه است. ما صحت آن را ثابت کند. اجازه دهید وجود داشته مثلث داده شده KMN، که ∟N = 90 °. این تا ثابت کند که ∟K ∟M = + 90 ° ضروری است.

بنابراین، با توجه به قضیه در مجموع زوایای ∟K + ∟M ∟N + = 180. در این شرایط گفته شده است که ∟N = 90 °. به نظر می رسد ∟K ∟M + + 90 ° = 180. 90 درجه = 90 ° - که ∟K ∟M + = 180 است. این چیزی است که ما باید به اثبات آن است.

علاوه بر خواص فوق از یک مثلث راست، شما می توانید این را اضافه کنید:

• زاویه، که در برابر پا دروغ برش؛
• وتر مثلثی بزرگتر از هر یک از پاها؛
• مجموع پاها بیش از وتر؛
• پا از مثلث، نهفته است که در مقابل به زاویه 30 درجه، نیمی از وتر، که به نصف آن برابر است.

به عنوان یک خاصیت دیگر از شکل هندسی را می توان متمایز قضیه فیثاغورس. او استدلال میکند که در یک مثلث با زاویه 90 درجه (مستطیلی)، مجموع مربعات پاها برابر است با مربع وتر.

مجموع زوایای یک مثلث متساوی الساقین

پیش از این گفت که یک مثلث متساوی الساقین یک چند ضلعی با سه رأس، حاوی دو طرف برابر است. این ویژگی شناخته شده است شکل هندسی: زاویه در پایه آن برابر است. اجازه دهید این را اثبات کند.

نگاهی به مثلث KMN است که متساوی الساقین،: SC - پایه آن است. ما ملزم به ثابت کند که ∟K = ∟N. بنابراین، فرض کنیم MA - KMN از نیمساز مثلث های ما است. مثلث ICA با اولین نشانه از برابری مثلث MNA است. یعنی، توسط فرضیه با توجه به اینکه CM = NM، MA سمت مشترک است، ∟1 = ∟2، چون MA - این نیمساز. با استفاده از تساوی دو مثلث، یکی می تواند که ∟K = ∟N استدلال می کنند. از این رو، قضیه اثبات شده است.

اما ما علاقه مند هستند، چه از مجموع زوایای یک مثلث (متساوی الساقین) است. از آنجا که در این رابطه آن به ویژگی های آن نداشته باشند، ما از قضیه قبلا بحث شروع خواهد شد. به این معنا که می توان گفت که ∟K + ∟M ∟N + = 180، و یا 2 * ∟K ∟M + = 180 (به عنوان ∟K = ∟N). این ملک را ثابت کند، به عنوان قضیه در مجموع زوایای یک مثلث زودتر به اثبات رساند.

به جز خواص در نظر گرفته از گوشه یک مثلث نیز چنین اظهاراتی مهم وجود دارد:

• در ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع، که به پایه کاهش شده بود، نیمساز متوسط از زاویه است که بین دو طرف برابر است و به طور همزمان محور تقارن از پایگاه خود را.
• متوسط (نیمساز و ارتفاع)، که به طرف یک شکل هندسی شد، مساوی هستند.

مثلث متساوی الاضلاع

همچنین این حق نامیده می شود، مثلث، که به همه احزاب برابر می باشد. و به همین دلیل نیز برابر و زاویه. هر کدام از آنها 60 درجه است. اجازه دهید ما این ملک را ثابت کند.

اجازه دهید فرض کنیم که ما یک KMN مثلث. ما می دانیم که دانش = HM = KH. این به این معنی که، با توجه به اموال از زوایای در این پایگاه در یک مثلث متساوی الاضلاع ∟K = ∟M = ∟N واقع شده است. از آنجا که، با توجه به مجموع زوایای یک قضیه مثلث ∟K + ∟M ∟N + = 180، پس از آن * 3 = 180 درجه سانتی ∟K یا ∟K = 60 °، ∟M = 60 °، ∟N = 60 °. بنابراین، این ادعا ثابت شده است. همانطور که از شواهد فوق بر اساس قضیه فوق دیده می شود، مجموع زوایای یک مثلث متساوی الاضلاع، به عنوان مجموع زوایای هر مثلث دیگر 180 درجه است. دیگر اثبات این قضیه است که لازم نیست.

هنوز هم برخی از خواص مشخصه یک مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد:

• ارتفاع متوسط نیمساز در یک شکل هندسی یکسان، و طول آنها به عنوان (یک X √3) محاسبه: 2؛
• اگر این چند ضلعی محدود کردن دایره، سپس شعاع خواهد به (ایکس √3) برابر باشد: 3؛
• اگر در یک مثلث متساوی الاضلاع دایره محاط، شعاع آن می شود (یک X √3): 6؛
• (A2 X √3):: منطقه از شکل های هندسی است با این فرمول محاسبه 4.

مثلث منفرجه

با این تعریف، یک مثلث منفرجه زاویه دار، یکی از گوشه های آن بین 90 تا 180 درجه است. اما با توجه به این واقعیت است که دو زاویه دیگر از شکل هندسی تیز، می توان نتیجه گرفت که آنها را 90 درجه تجاوز نمی کند. بنابراین، مجموع زوایای یک قضیه مثلث کار در محاسبه مجموع زوایای یک مثلث منفرجه در. بنابراین، ما اطمینان می توان گفت، بر اساس قضیه فوق که مجموع زوایای مبهم از یک مثلث 180 درجه است. باز هم، این قضیه نیازی به دوباره اثبات.